RESUMO - As Seis Etapas do Processo de Aprendizagem em Matemática

DIENES, Zoltan Paul. As seis etapas do processo de aprendizagem em matemática. São Paulo: EPU, 1986. 72 p.

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I - Descrição das Etapas 

O livro trata das seis diferentes etapas da abstração que, juntamente com a generalização e a transferência, constitui o processo de aprendizagem. (p. 1-2)

Primeira Etapa ( ou Adaptação: jogo livre) 

Aprender significa modificar seu comportamento em relação ao meio. Por isso, deve-se apresentar à criança um meio ao qual possa adaptar-se. Isso é o que se chama aprendizagem. A adaptação se dá em uma fase chamada jogo livre, que acontece durante a brincadeira. Por exemplo, o desenvolvimento do raciocínio lógico, por não ser natural, precisa ser artificialmente criado. Isso pode ser feito, por exemplo, com a utilização dos blocos lógicos (variáveis: cor, forma espessura e tamanho). Para trabalhar potência pode-se utilizar os jogos Multibase para que a criança entenda o aumento de superfície com relação à base escolhida. (p. 2-3).

Segunda Etapa (ou Restrição: regras do jogo) 

Nesta etapa a criança percebe que há limites, restrições e que, para atingir determinados objetivos, é preciso primeiro satisfazer algumas condições. Estas restrições são regulares e são chamadas "regras do jogo". Por exemplo, o jogo de xadrez possui regras arbitrárias que não tem absolutamente nada a ver com as propriedades físicas das peças. Já quando o objetivo é que as crianças aprendam estruturas matemáticas específicas, o conjunto de regras tem que ser aplicável às estruturas matemáticas correspondentes. (p. 3-4)

Terceira Etapa (Jogo de Isomorfismo) 

Consiste em identificar propriedades semelhantes em jogos diferentes. Nesta etapa a criança realiza a abstração. (p. 4-5)

Quarta Etapa (Representação)

Significa que a criança vai representar o que abstraiu, permitindo que ela possa falar sobre o que abstraiu, permitindo examinar os jogos e refletir sobre eles. (p. 5)

Quinta Etapa (Exame da representação)

Consiste em descrever o que foi representado através de uma linguagem, que deve ser inventada para contemplar esta representação. Depois, cada criança pode apresentar sua representação e debater sobre qual é a melhor, criando diferentes axiomas que, mais tarde, podem se tornar teoremas. (p. 5-6)

Sexta Etapa (Método ou Regras do Jogo de Demonstração)

Significa descrever a estrutura matemática a um domínio finito, ou seja, em um número finito de palavras. Para tanto é preciso um método (regras do jogo de demonstração) que serão, posteriormente, chamadas de teoremas do sistema. Logo, houve a invenção de um sistema formal, com axiomas, regras do jogo, regras lógico-matemáticas e, finalmente, teoremas do sistema. (p. 6)

 
EXEMPLO

Primeira Etapa: Aprendizagem de algumas noções lógicas: jogo livre com blocos lógicos e familiarização com as variáveis forma, cor, espessura e tamanho (p. 7-8).

Segunda Etapa: Aprendizagem de conjunção, disjunção, negação, implicação através de classificações de dupla entrada (p. 8-12).

Pode-se fazer um diagrama de Carroll para identificar, por exemplo: objetos vermelhos e redondos, vermelhos e não redondos, não vermelhos e redondos e não vermelhos e não redondos.

Perguntamos, então, para as crianças:

a. Onde estão os blocos que são vermelhos e redondos?

b. Onde estão os blocos que são vermelhos e que não são redondos

c. Onde estão os blocos que não são nem vermelhos nem redondos? Na figura abaixo:

A área hachurada corresponde aos redondos vermelhos e a parte não hachurada, aos que não são "vermelhos-e-redondos" (não redondos, não vermelhos). Ou seja, a parte hachurada corresponde a um atributo e as partes não achuradas, a um atributo negado (não é redondo ou não é vermelho).

Pode-se também fazer o seguinte: colocar dois aros no chão com uma interseção e pedir que as crianças coloquem em um deles todos os objetos redondos e, ou outro, todos os objetos vermelhos. As crianças perceberão que os objetos redondos e vermelhos ficam na parte do aro destinada aos atributos vermelhos e aos redondos (interseção) e que os objetos não redondos e não vermelhos ficam de fora dos arcos.

Considerando-se uma árvore (p. 11-12):

percebe-se que esta representação espacial não é adequada a uma classificação lógica, mas tem tanto valor quanto outra qualquer. A criança terá que desembaraçar-se do laço que existe entre seu pensamento lógico e a repartição espacial empregada para estimular este pensamento.

Terceira Etapa: solicitar que as crianças transportem os blocos de um diagrama para outro (aros para árvore). Esta transposição dos objetos de um diagrama para outro não é uma propriedade não pertinente ao jogo. Para que a criança se desembarace de propriedades particulares (cores, formas, tamanho), a fim de ser capaz de estabelecer relações entre objetos, pode-se inventar um sistema de conjuntos utilizando outros objetos que não sejam os blocos lógicos como, por exemplo, fósforos, pedras, lápis, rolhas. O objetivo é "que as crianças sejam capazes de manipular conjuntos de conjuntos definidos a partir de propriedades pertinente a estes conjuntos [...] e já fizeram a abstração da repartição do universo particular empregado no problema" (p. 13), sendo capazes de corresponder as propriedades dos objetos e dos conjuntos.

A partir de um determinado momento, será preciso introduzir a implicação. Para tanto, pode-se retirar todos os objetos redondos não vermelhos. Logo, sobraram apenas objetos vermelhos.

Da mesma forma, o conjunto que sobrou possui uma propriedade disjuntiva, ou seja, após a retirada dos objetos redondos não vermelhos, tudo o que resta é vermelho ou não redondo, o que é a propriedade conjunta (conjunção).

Depois de ter efetuado os jogos de conjunção, disjunção, implicação e negação, as crianças estão prontas para abordar o problema da representação, na quarta etapa.

Quarta etapa: como representar a ideia da conjunção, disjunção, negação e implicação?

CONJUNÇÃO (fig. 5)

De acordo com o diagrama acima, a conjunção pode ser representada quando duas propriedades são contempladas. No caso, "x" E "y", ou seja, redondo E vermelho, respectivamente.Considerando-se que "x" e "y" sejam portas e que por "y" passem apenas os objetos vermelhos e que por "y" passem apenas os objetos redondos, a "SAÍDA" representa a conjunção de duas propriedades (y e x ou vermelho e redondo, respectivamente). Já o "REFUGO" representa as propriedades que não contemplam nem "x" nem "y".

DISJUNÇÃO (Fig. 6)

Já a disjunção contempla ou a propriedade "x" ou a propriedade "y", bastando uma ou outra ser verdadeira para o objeto ser selecionado e chegar à "SAÍDA".  Ou seja, todos os vermelhos e todos os redondos chegam à "SAÍDA". Para chegar à saída, basta ser vermelho OU ser redondo. Isso é a propriedade de disjunção.

NEGAÇÃO (fig. 7)

Na negação, uma propriedade é negada. No caso, a propriedade "vermelho" é negada para a "SAÍDA", exceto para os objetos vermelhos que são redondos.

IMPLICAÇÃO(Fig. 8)

Na implicação, a condição de uma propriedade implica na outra propriedade. Na figura, a condição "redondo" implica em "vermelho" porque todos os redondos não vermelhos foram para o refugo. Além disso, os objetos vermelhos e não redondos vão para a "SAÍDA" e os objetos não redondos também vão para a saída. Ou seja, na "SAÍDA", se redondo, então vermelho.

NEGAÇÃO QUE NEGA TODO O PRECEDENTE (Fig. 9)

Neste caso, todos os objetos que chegam à saída não são não redondos ou não vermelhos (ou seja, são redondos e vermelhos). Observa-se que são os mesmos objetos que estão na "SAÍDA" na relação de conjunção. Então, agora é possível observar a relação de equivalência. As duas redes são equivalentes porque fazem a mesma repartição do conjunto de saída e no conjunto refugo, respectivamente.

Quinta etapa: descrição das equivalências em rede. Para tanto, os diagramas acima serão considerados como exemplo, para a descrição das propriedades conjuntivas e disjuntivas. 

No caso da conjunção,  todos os elementos da "SAÍDA" são "x" e "y", ou seja, vermelhos e redondos ao mesmo tempo. Vamos dar um símbolo para a expressão "ao mesmo tempo", que passará a ser representada por "K". Então Kxy significa "ao mesmo tempo x e y".

No caso da disjunção, os objetos são x ou y, ou seja, ou vermelhos, ou redondos. Para "ou...ou" podemos usar o símbolo A. Então Axy significa "ou x ou y".

No caso da negação, os objetos são x ou não-y ou seja, são redondos e não vermelhos. A alternativa está entre os x e os não-y. Pode-se dizer assim AxNy que quer dizer que é x e não-y.

No caso da implicação, na "SAÍDA" a condição "se...então" pode ser representada por AN e se não vermelho, então redondo, por ANxy. OU, ainda, a condição vermelho implica na propriedade redondo, ou seja, Cxy. E na saída, os objetos são não redondos e vermelhos, ou seja ANxy.

Na negação que nega todo precedente, se não é redondo, então não é vermelho para a "SAÍDA". Escrevendo um N à esquerda, nega-se a propriedade NANxNy, ou seja, se não for redondo, não é vermelho porque todos os redondos, exceto os vermelhos, vão para o refugo.

Tanto na conjunção quanto na negação que nega todo o precedente, na "SAÍDA" temos objetos vermelhos e redondos. Isso significa que NANxNy=Kxy. Ou seja, se sei que os objetos da saída são vermelhos e redondos, sei também que não são não vermelhos e não redondos.

Além disso, é preciso distinguir os raciocínios reversíveis dos não reversíveis. Kxy não significa o mesmo que Axy, ou seja, "x e y" não é o mesmo que "ou x ou y".

Sexta etapa: nesta etapa o que se busca é ir de certo conjunto de propriedades a qualquer outra propriedade da rede lógica.